《高等算学》：元祐格物院的巨著与汉数学的里程碑
记述者：国子监算学博士 钱若虚 （成稿于元祐二十五年，公元 1065 年）
序： 夫算学者，格物致知之本，明理经世之基也。我大汉自武侯以“明算”立国，其学说虽历经盛衰，然其精髓薪火相传，未尝断绝。大衰落之时，算学凋敝，典籍散佚，诚为憾事。然自王明先生《再认识》重倡“统合明算”以来，海内治算之风复起。及至神宗皇帝（刘启）设立“明算阁”，哲宗皇帝（刘煦）倚重格物院，算学研究更是日新月异，人才辈出。元祐十九年（公元 1059 年），洛阳格物院算学科首席李尚真及其同仁，历时十余载，参详古今，博采中外，编纂完成煌煌巨著——《高等算学》，此诚汉家数学史上继《明算真解》之后又一里程碑也。
一、 成书背景：新汉学思潮下的算学复兴
《高等算学》之问世，非一人一时之功，乃新汉学思潮下算学复兴之必然产物。
- 理论需求的驱动： 通俗时代以来，手工业、商业、水利、天文等领域快速发展，对更高级、更系统的数学工具提出了迫切需求。传统《九章算术》及其《明算真解》之内容，虽为基础，然于解决复杂工程问题、描述精微物理现象（如格物院对光学、力学的初步探索）时，已显不足。
- 格物院的学术沃土： 洛阳格物院，自神宗熙宁年间设立以来，汇聚了天下顶尖之算学、格物学人才。院内学术氛围浓厚，鼓励大胆探索与严谨论证。李尚真（字元直）领衔之算学科，更是致力于汉数学之体系化与现代化。
- 对前人成果的继承与反思： 李尚真等人深研汉初“明算”典籍，对其中“方程”、“勾股”、“开方”等算法进行梳理，亦不讳言其在符号表达、逻辑演绎上之局限。同时，他们亦注意到李壹《新易》中蕴含之早期符号逻辑思想，以及王明《再认识》中对“实证”与“体系构建”之强调。
- “西学东渐”的涓涓细流： 更为重要的是，随着海上丝路的再度繁荣，一些经由大食国（阿拉伯帝国）辗转传入的古希腊算学残篇（如欧几里得《几何原本》的部分译本或摘要，托勒密天文学中的三角学知识），以及印度算学中关于“零”和“位值制”的更清晰论述，虽零散不成系统，却也为格物院学者们打开了一扇新的窗户。
二、 《高等算学》的核心内容与重大突破
《高等算学》全书共分八卷，其体系之宏大，内容之精深，远超前代。
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卷一：总纲·符号与公理
- 希腊字母的正式引入与规范化： 此乃《高等算学》最耀眼之创举。在此之前，汉算虽偶有不成文地借用域外符号（如天竺数字、或极少数希腊字母）辅助表达，然从未系统化。李尚真等人敏锐地意识到，汉字作为表意文字，在表达抽象数学概念和进行复杂代数运算时，远不如表音字母简洁明了。
- 他们大胆决定，正式引入二十四希腊字母（Αα, Ββ, Γγ … Ωω）作为变量、未知数、常量及几何图形中点、线、角等的通用符号。 并制定了一套详细的**《希腊字母数学使用规范》**，规定了字母的大小写用法、角标规范（用于表示不同变量或同族变量）、以及在不同数学分支中的优先使用序列等。例如，常用 α, β, γ 表示角度，用 x, y, z (借用希腊字母 Χχ, Ψψ, Ζζ 形或音) 表示方程中的未知数，用 a, b, c 表示已知常量等。
- 此举极大提升了汉数学表达之精确性与普适性，为后续更复杂理论的构建奠定了符号基础。
- 公理化思想的初步体现： 本卷亦首次尝试从若干基本定义和公理出发，构建算学体系，体现了对逻辑演绎严密性的高度重视。
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卷二：代数·方程新论
- 系统整理和发展了汉代传统的“方程术”（线性方程组），并引入希腊字母，使其表达更为简洁，解法更具一般性。
- 首次明确提出了一元二次方程的通用求根公式（其形式或已接近现代公式，用希腊字母表达系数和根）。
- 对三次及更高次方程的解法进行了初步探讨，虽未完全解决，但指明了方向。
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卷三：几何·勾股广义
- 在传统“勾股术”基础上，吸收欧几里得几何之公理化思想，对平面几何进行了系统化整理。
- 引入了三角函数（正弦、余弦、正切）的概念与初步计算方法（可能尚未使用后世通用名称，而是以“句股弦之比”等汉式术语定义，但已用希腊字母表示角和边长关系），并将其应用于天文测量、土地丈量和工程计算。
- 对圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的几何性质进行了初步研究。
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卷四：级数·无穷初探
- 系统研究了等差级数、等比级数的求和问题。
- 对某些无穷级数的收敛性进行了初步探讨（如“割圆术”中蕴含的极限思想），并尝试用希腊字母表达无穷小量（如用 ε, δ 等）。此为汉算向微积分迈进之重要一步。
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卷五：算子·开方新法
- 将“开方术”（开平方、开立方）提升到更一般的“算子”（早期运算法则）层面进行研究。
- 探讨了负数开平方的问题，并首次（在汉数学中）引入了“虚数单位”（可能用某个特定希腊字母或符号表示，如 ι），虽然对其本质尚不完全理解，但已意识到其在解某些方程时的必要性。
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卷六：应用算学·格物致用
- 将前五卷的理论成果应用于实际问题，如复杂机械设计中的力学计算、水利工程中的流量与压强分析、航海中的天文定位与球面三角计算、以及泉府司在制定国家预算和金融调控模型（如研究通货膨胀与利率关系）时的数学应用等。
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卷七：算学史略·古今之辨
- 首次系统梳理了从上古至当时的汉数学发展史，评价历代算学名家之得失，并明确提出“算学乃与时俱进之学，非守旧崇古所能发展”的观点。
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卷八：习题与难题集注
- 收录了大量精心设计的算学习题，并对一些悬而未决的算学难题（如高次方程求解、某些无穷级数求和等）进行了标注和初步探讨，以期启迪后学。
三、 《高等算学》的历史地位与深远影响
《高等算学》的问世，是汉数学发展史上的一座巍峨丰碑，其影响深远：
- 汉数学的系统化与现代化之始： 该书首次对汉代传统数学进行了全面、系统的整理和拔高，并大胆吸收外来数学成果，使其从经验性的算法汇编，向公理化、符号化、理论化的现代数学迈出了关键一步。
- 数学语言的革命性突破： 正式引入和规范化希腊字母在算式中的使用，彻底改变了汉数学的表达方式，极大提高了数学语言的精确性、简洁性和国际通用性（为其后与西方数学的进一步交流奠定了基础）。
- 推动了“新政”时期科技与工程的飞跃： 书中系统化的数学理论和方法，为“新政”时期在天文、历法、水利、机械、军事等领域的诸多重大工程和科技突破，提供了强大的数学工具支持。
- 奠定了后世汉数学研究的基础： 《高等算学》成为其后数百年间汉朝及周边国家数学研究的最高范本和教科书，培养了一代又一代的数学人才。
- 促进了理性精神的进一步高扬： 其严谨的逻辑体系和对精确性的极致追求，进一步强化了新汉学所倡导的理性精神和实证态度，对整个社会的思想文化产生了深远影响。
四、 当时的争议与后世的评价
《高等算学》的出版，在当时亦非一帆风顺。
- 守旧派的质疑： 一些固守传统《九章算术》的学者，对书中大量使用“蛮夷符号”（希腊字母）表示不满，认为其“有违汉家体统，数典忘祖”。他们亦对书中一些过于超前的理论（如虚数概念、无穷级数探讨）表示怀疑，认为是“无用之玄谈”。
- 格物院内部的争鸣： 即便在格物院内部，对于某些理论的构建方式和符号的选择，也曾有过激烈的学术争论。然李尚真等人坚持“理无中外，唯真是求”的原则，力排众议。
- 朝廷的开明态度： 幸运的是，哲宗皇帝刘煦及其主持“新政”的核心官员，多深受新汉学思想熏陶，对格物院的学术探索给予了大力支持，使得《高等算学》得以顺利编纂和刊印（此时活字印刷技术或已得到改良和应用，使得此类巨著的少量印行成为可能）。
后世史家对《高等算学》评价极高，清代大儒兼算学家顾炎武在其《算学源流考》中赞曰：“李尚真《高等算学》一出，汉算之貌焕然一新。其引入希腊字母，规范算符，乃破天荒之举，其功不下于仓颉造字。此书承前启后，集古今中外之大成，实为我汉家千年算学之冠冕！”
结语：
元祐十九年，洛阳格物院灯火通明。李尚真与他的同仁们，在无数个不眠之夜的辛勤耕耘下，终于为汉家数学乃至世界数学史，献上了一份厚重的礼物。《高等算学》的问世，不仅仅是一部数学著作的完成，它更是一个时代理性精神的结晶，是汉文明在经历漫长沉寂后，于科学之巅再次发出的嘹亮回响。其所开创的道路，必将引领汉数学走向更加辉煌的未来。