《高等算学》节选（元祐十九年格物院刊本）

《高等算学》

（汉）洛阳格物院算学科 李尚真 等 奉敕编纂

元祐十九年（公元 1059 年）洛阳格物院刊本

(臣) 李尚真 谨识于卷首：

算学之道，精微广大，上察天文，下尽地理，中通万物之情状，诚为格物致知之要枢，经世济民之准绳也。我大汉自武侯以明算奠基，历代先贤继往开来，《九章》之术，《真解》之奥，彪炳千古。然世易时移，新题日出，旧法或有未逮。今天子（哲宗刘煦）圣明，崇文兴教，设格物之院，集天下之智，以探求宇宙之真理，改良民生之器具。尚真等不才，忝列算学科，感皇恩浩荡，亦惧所学浅陋，有负圣望。

乃与同寅诸君，穷搜历代算经，遍访域外算法（注：此处指经由大食、天竺等传入之希腊、印度算学残篇），去芜存菁，补偏救弊，历时十数寒暑，方成此《高等算学》八卷。此书之作，非敢谓超越前贤，实欲为后学开一新径，使算学之用，更为广阔；算学之理，更为明晰。书中大胆引入泰西字母（指希腊字母），规范算符，以求表达之简明，推演之便利。或有方家讥其“不中不西，非驴非马”，然尚真以为，学无中外，理无古今，苟有助于明道致用，则兼收并蓄，何伤于大道哉？

书成，惴惴不安，恳请圣上及海内明达之士，不吝斧正。若此书能为我大汉算学之发展，略尽绵薄之力，则尚真等幸甚望焉。

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卷一：总纲·符号与公理 （节选）

第一章：论数学符号之革新与泰西字母之引用

第一节：传统记数与运算符号之局限

汉字表意，博大精深，于经史文章，诚为不二之选。然用于算学推演，则其繁复冗赘，表述抽象概念之际，往往捉襟见肘。如“勾股弦”、“方程诸元”、“开方盈不足”，虽各有其名，然书写冗长，运算不便。又如列算筹布阵，虽直观形象，然步骤繁琐，易生错讹，不利于复杂问题之探讨与普遍规律之总结。故算学欲求大发展，其符号系统之革新，势在必行。

第二节：泰西字母（希腊字母）之引入及其规范

考之域外算学，有泰西古国（指古希腊），其字母体系简明，用于指代数与形，颇有效用。其字母凡二十有四，曰阿尔法(Α α)、贝塔(Β β)、伽马(Γ γ)、德尔塔(Δ δ)、伊普西龙(Ε ε)、泽塔(Ζ ζ)、伊塔(Η η)、西塔(Θ θ)、约塔(Ι ι)、卡帕(Κ κ)、兰布达(Λ λ)、缪(Μ μ)、纽(Ν ν)、克西(Ξ ξ)、奥密克戎(Ο ο)、派(Π π)、柔(Ρ ρ)、西格马(Σ σ)、套(Τ τ)、宇普西龙(Υ υ)、斐(Φ φ)、喜(Χ χ)、普西(Ψ ψ)、欧米伽(Ω ω)。

本院算学科同仁，经反复研议，并参酌泉府司及市舶司所获之海外商旅札记与零星译稿，决定正式引入此套字母，用于《高等算学》及后续一切算学论著与教学之中，并制定如下初步规范，以期统一，避免混淆：

1. 通则：

   • 凡指代特定之常量或已知数量，宜用泰西字母之大写，如 Α, Β, Γ。
   • 凡指代变量、未知数或一般数量，宜用泰西字母之小写，如 α, β, γ, x, y, z。 （注：此处 x, y, z 借用希腊字母 Χχ, Ψψ, Ζζ 之形或常用读音，以便习用。）
   • 若同类变量或常量有多个，可于字母右下角附以汉字数字小写（如 α_一, α_二）或泰西数字（若已传入并初步使用，如 α₁, α₂）以区分。

2. 代数学（方程论）规范：

   • 方程中之未知元，首选 x, y, z (Χχ, Ψψ, Ζζ)。若未知元多于三者，可续用 ω (欧米伽小写) 或其他小写字母。
   • 方程中之已知系数，常用小写希腊字母之首，如 α, β, γ, δ 等。例如，一元二次方程可表为：αx² + βx + γ = 0。

3. 几何学（勾股广义）规范：

   • 点，宜用泰西字母之大写，如 A, B, C。
   • 线段，可以其两端点字母表之，如 AB, BC；或以小写字母名之，如 a, b, c。习惯上，三角形中，角 A 所对之边曰 a，角 B 所对之边曰 b，角 C 所对之边曰 c。
   • 角，宜用小写希腊字母，如 α, β, γ。亦可以顶点字母表之，如 ∠A, ∠B, ∠C；或以三点表之，如 ∠BAC。
   • 圆之半径常用 r (柔 Ρρ 之小写) 或 R (柔 Ρρ 之大写) 表之，直径常用 d (德尔塔 Δδ 之小写) 或 D (德尔塔 Δδ 之大写) 表之。圆周率以 π (派 Ππ 之小写) 表之。

4. 级数与微积分初步（无穷初探）规范：

   • 无穷小量，可暂用 ε (伊普西龙小写) 或 δ (德尔塔小写) 表之。
   • 总和符号，可用 Σ (西格马大写) 表之。

5. 算子与特殊常量规范：

   • 开方运算，仍沿用“√”符号，然其内数与方根数，皆可用泰西字母。
   • 虚数单位（见卷五），定为 ι (约塔小写)。
   • 自然对数之底（若已接触此概念），可考虑用 e (伊塔 Ηη 之小写，或伊普西龙 Εε 之小写，待议)。

（钱若虚曰：李尚真等人此举，实乃汉算千年未有之大变革。以表音之泰西字母代繁复之汉字，虽初习或有不便，然于算学之精确表达、逻辑推演、乃至与异域交流，皆有莫大之裨益。其功至伟，后人当铭记。）

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卷二：代数·方程新论 （节选）

第三章：一元二次方程之标准解法

第一节：方程之形及其系数

凡方程，其未知元之最高幂次为二者，称一元二次方程。其标准形，可以泰西字母表为：

αx² + βx + γ = 0

其中，x 为未知元；α, β, γ 为已知常数，称之为方程之系数。特别强调，首项系数 α 不得为零 (α ≠ 0)，否则此方程降为一元一次，非吾辈此处所论之二次方程也。

第二节：求根公式之推导与应用

欲求此方程之解 x，亦即其根，可依循如下步骤（此步骤源于前人“配方法”之巧思，今以新符号述之，更为明晰）：

1. 方程两边同除以 α (因 α ≠ 0)： x² + (β/α)x + (γ/α) = 0
2. 移项： x² + (β/α)x = - (γ/α)
3. 配方：于方程左侧加一项 (β/2α)²，使其成为完全平方。为保等式成立，右侧亦加此项： x² + (β/α)x + (β/2α)² = - (γ/α) + (β/2α)² (x + β/2α)² = (β² - 4αγ) / 4α²
4. 开平方： x + β/2α = ±√(β² - 4αγ) / 2α
5. 移项得解： x = [-β ± √(β² - 4αγ)] / 2α

此即为一元二次方程 αx² + βx + γ = 0 之通用求根公式。

第三节：判别式 Δ (德尔塔大写) 及其意义

于上述求根公式中，根号内之表达式 β² - 4αγ 至为关键，吾辈特以泰西大写字母 Δ (德尔塔) 名之，称其为该方程之“判别式”。即：

Δ = β² - 4αγ

判别式 Δ 之值，可判定方程根之性质：

1. 若 Δ > 0：方程有两个不相等之实数根。 x_一 = (-β + √Δ) / 2α x_二 = (-β - √Δ) / 2α
2. 若 Δ = 0：方程有两个相等之实数根（亦称重根）。 x_一 = x_二 = -β / 2α
3. 若 Δ < 0：方程无实数根。此时，若欲寻求其解，则需引入“虚数”之概念（详见卷五·算子篇）。即，令 ι² = -1 (ι 为约塔小写，称虚数单位)，则方程之解可表为： x = [-β ± ι√(4αγ - β²)] / 2α 此为共轭之虚根，其详尽意义与应用，容后再禀。

（钱若虚曰：此一元二次方程求根公式之系统阐述，并明确引入判别式及对虚根之初步探讨，乃汉代方程理论之一大飞跃。以希腊字母表述，较之传统“依乘率开廉隅”之法，更为简洁普适，易于传授与推广。李尚真等人于此所立之功，当与《九章》“方程”章同垂不朽。）

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卷三：几何·勾股广义 （节选）

第二章：角之度量与边角关系初探——兼论句股弦新义

第一节：任意角之正弦 (sinus)、余弦 (cosinus) 与正切 (tangens)

（注：此处 sinus, cosinus, tangens 等词，或是李尚真等人直接借用经大食商人传入之拉丁或希腊词汇音译，或是其根据其几何意义自创之汉译名，此处为示意，姑且用后世习用之拉丁词根，实际书中或为汉字术语，如“正矢”、“余矢”、“正割线之半”等变体。）

传统勾股之术，多限于直角三角形（汉称“句股形”）内边长之关系。然于天文测绘、舆地勾量、乃至军工营造诸领域，常需探讨任意角与其所对边、邻边及圆弧之关系。为此，吾辈拓展勾股之义，引入角之“弦率”概念。

设于平面直角坐标系（其建系方法详见本卷第一章）中，以原点 O 为圆心，作半径为 R 之圆。设角 α (阿尔法小写) 之始边与横轴（x 轴）正向重合，其终边交圆 O 于点 P(x, y)。则定义：

1. 角 α 之正弦 (sinus α，汉或注曰“正弦率”)： 点 P 之纵坐标 y 与半径 R 之比。 sin α = y / R （若取 R=1 之单位圆，则 sin α = y）

2. 角 α 之余弦 (cosinus α，汉或注曰“余弦率”)： 点 P 之横坐标 x 与半径 R 之比。 cos α = x / R （若取 R=1 之单位圆，则 cos α = x）

3. 角 α 之正切 (tangens α，汉或注曰“正切率”)： 点 P 之纵坐标 y 与其横坐标 x 之比（其中 x ≠ 0）。 tan α = y / x = sin α / cos α

此三弦率，不独限于锐角，可推广至任意大小之角（正角、负角、周角）。其正负符号，随角 α 所在象限而定，此乃与传统句股术之重大区别。

第二节：弦率于直角三角形中之应用

若特指直角三角形 ABC，设角 C = π/2 （即直角，π 为圆周率），角 A = α，角 B = β。三边长分别为 a, b, c (c 为弦，即斜边)。则有：

sin α = a/c （对边比弦） cos α = b/c （邻边比弦） tan α = a/b （对边比邻边）

sin β = b/c cos β = a/c tan β = b/a

由此可见，sin α = cos β，cos α = sin β，tan α = 1/tan β。此等关系，于解算三角形，至为便捷。

（钱若虚曰：此弦率之引入，乃汉算由“形”向“数”结合之关键一步。虽其源或可溯至域外，然李尚真等人能将其与汉传统勾股术相融，并以新符号系统规范之，赋予其普适性定义，实为创举。此后，汉之测绘、天文、工程计算，皆因此而面目一新。后人在此基础上发展出更为完备之“三角学”，皆源于此也。）

(以下略去卷四至卷八之内容，包括级数、算子、应用算学、算学史及习题等。全书约十五万汉字，附图三百余幅。)

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洛阳格物院 元祐十九年冬月 刊印